Rođen 5. kolovoza 1993. godine u Širokom Brijegu (Bosna i Hercegovina), Leon Šušnja se svojom visinom od 204 centimetra i težinom od 116 kilograma nametnuo kao idealan izbor za poziciju pivota. Njegove fizičke predispozicije omogućuju mu dominaciju u igri na crti, gdje pokazuje iznimnu snagu i pokretljivost.
Svoj rukometni put započeo je u mlađim kategorijama RK Moslavine i RK Novske, gdje je pokazao veliki potencijal. Rano je privukao pozornost skauta vodećih hrvatskih klubova, što ga je dovelo do sljedećeg važnog koraka u karijeri. U dresu RK Zagreb proveo je šest vrlo uspješnih sezona (2013-2019), tijekom kojih je osvojio pet nacionalnih prvenstava i pet kupova. U tom razdoblju razvio se u kompletnog igrača i stekao dragocjeno iskustvo u Ligi prvaka. Godine 2019. potpisao je ugovor s Wisłom Płock, gdje je postao dio ambicioznog projekta poljskog kluba. Dolazak u Płock označio je važan korak u njegovoj karijeri, gdje pod vodstvom trenera Xaviera Sabatea dobiva značajnu minutažu u jakoj poljskoj ligi i EHF Ligi prvaka. Svojom impozantnom pojavom i kvalitetnim igrama postao je važan dio momčadi
poljskog viceprvaka, gdje je stigao nakon uspješnog razdoblja u Zagrebu.
Za hrvatsku rukometnu reprezentaciju debitirao je 2018. godine, te je postao šef obrane hrvatske reprezentacije. Nakon pobjede protiv Francuske u polufinalu, slijedi borba Šušnje i njegovih suigrača za najsjajniju medalju na Svjetskom rukometnom prvenstvu.
Tetovaže su mu strast. Ima ih više na sebi, a one mu daju snagu. Veliki je navijač Hajduka i sanja titulu prvaka države splitskog kluba. Htio bi da Hajduk osvoji naslov dok je Marko Livaja u klubu.
